Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Dirichlet và xét tính chẵn lẻ của số mũ.

Giải chi tiết:

Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số sao cho tích của chúng là 1 số chính phương.

Ta có: Các số có ước nguyên tố không vượt quá 7 có dạng: \({2^x}{.3^y}{.5^z}{.7^t}\).

Do \(x,\;y,\;z,\;t\)  mỗi số có 2 trường hợp chẵn, lẻ nên số trên có tổng cộng  \(2.2.2.2 = 16\) trường hợp của bộ  \(x,\;y,\;z,\;t.\)

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[ {\frac{{20}}{{16}} + 1} \right] = 2\) số \(a,\;b\)  sao cho:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = {2^{{x_1}}}{.3^{{ y _1}}}{.5^{{z_1}}}{.7^{{t_1}}}\\b = {2^{{x_2}}}{.3^{{ y _2}}}{.5^{{z_2}}}{.7^{{t_2}}}\end{array} \right.\) và các số mũ tương ứng cùng tĩnh chẵn lẻ:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\;\;\;\\{y_1} + {y_2} = 2n\\{z_1} + {z_2} = 2p\\{t_1} + {t_2} = 2q\end{array} \right.\\ \Rightarrow a.b = {\left( {{2^m}{{.3}^n}{{.5}^p}{{.7}^q}} \right)^2}.\end{array}\)

Đây là 1 số chính phương.

Vậy ta luôn chọn được 2 số sao cho tích của chúng là số chính phương từ 20 số tự nhiên mà mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7.