Cho các biểu thức: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Lấy kết quả rút gọn biểu thức A  ở câu trên sau đó thế vào biểu thức T  để tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x>0,\ \ x\ne 1.$

$\begin{align}  & A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}} \\  & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right) \\  & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\sqrt{x}\left( x\sqrt{x}-1 \right) \\  & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right) \\  & \ \ \ =\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)=x-1. \\ \end{align}$

b) Ta có: $T=B-2{{A}^{2}}$

                  $\begin{align}  & ={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025-2{{\left( x-1 \right)}^{2}} \\  & ={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025-2{{x}^{2}}+4x-2 \\  & ={{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-4x+2023 \\  & ={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16+{{x}^{2}}-4x+4+2003 \\  & ={{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+2023. \\ \end{align}$

Vì ${{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}\ge 0,\ \ {{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow T\ge 2003.$

Dấu “=” xảy ra 

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4 = 0\\ x - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.\\ x = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.$

Vậy với ${{T}_{\min }}=2003\Leftrightarrow x=2$.

Chọn B