Cho đường tròn (O) đường kính AB và một dây CD vuô...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác OHMD có hai đỉnh M và H cùng nhìn OD dưới các góc bằng nhau.

b) Chứng minh \(\widehat {CHE} = \widehat {ABC}\). Từ đó suy ra tam giác CHE vuông tại E.

Giải chi tiết:

a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì M là trung điểm của AD \( \Rightarrow OM \bot AD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \) Điểm M, H cùng nhìn OD dưới một góc 90⁰.

\( \Rightarrow \) Tứ giác OHMD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Vậy bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.

b) MH vuông góc với BC.

Kéo dài MH cắt BC tại E.

Xét tam giác vuông ADH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD \( \Rightarrow HM = \frac{1}{2}AD = MD \Rightarrow \Delta MHD\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MHD} = \widehat {MDH} = \widehat {ADC}\)

Lại có \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

\(\widehat {MHD} = \widehat {CHE}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {CHE} = \widehat {ABC}\).

Xét tam giác vuông BCH có \(\widehat {ABC} + \widehat {HCB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CHE} + \widehat {HCB} = {90^0} \Rightarrow \Delta CHE\) vuông tại E.

\( \Rightarrow HE \bot BC\).

Vậy \(MH \bot BC\).