Tìm các tham số thực \(m\) để phương trình \({x^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm.

- Sử dụng định lý Vi-et để thay vào biểu thức \(P.\)

Giải chi tiết:

Tìm số thực m để phương trình \({x^2} - (m + 1)x + 2m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(P = \frac{{{x_1} + {x_2} - 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2} + 3}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì: \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 8m = {m^2} - 6m - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + \sqrt {10} \\m < 3 - \sqrt {10} \end{array} \right..\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có :

\(P = \frac{{{x_1} + {x_2} - 1}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2} + 3}} = \frac{{\left( {m + 1} \right) - 1}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 3.2m + 3}} = \frac{m}{{{m^2} - 4m + 4}} = \frac{m}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\)

Xét biểu thức : \(P + \frac{1}{8} = \frac{m}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{8} = \frac{{8m + {m^2} - 4m + 4}}{{8{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{8{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} \ge 0\)

\( \Rightarrow P + \frac{1}{8} \ge 0 \Leftrightarrow P \ge  - \frac{1}{8}.\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(Min\,\,P =  - \frac{1}{8}\)  khi \(m =  - 2.\)

Chọn A.