Cho biểu thức \(\left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có: \(x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{2018}{y+\sqrt{1+{{y}^{2}}}}=\frac{2018\left( y-\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)}{{{y}^{2}}-\left( 1+{{y}^{2}} \right)}=2018\left( \sqrt{1+{{y}^{2}}}-y \right).\)

Tương tự ta có: \(y+\sqrt{1+{{y}^{2}}}=2018\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}-x \right).\)

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được: \(2019\left( x+y \right)=2017\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right).\)

Xét: \(A={{\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}}+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\sqrt{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow A\ge 2+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\left( 1+xy \right)=4+{{\left( x+y \right)}^{2}}. \\  & \Rightarrow VP\ge 2017\sqrt{4+{{\left( x+y \right)}^{2}}} \\  & \Rightarrow VT=2019\left( x+y \right)\ge 2017\sqrt{4+{{\left( x+y \right)}^{2}}} \\  & \Rightarrow 2019P\ge 2017\sqrt{4+{{P}^{2}}} \\  & \Rightarrow {{2019}^{2}}.{{P}^{2}}\ge {{2017}^{2}}\left( 4+{{P}^{2}} \right) \\  & \Rightarrow {{P}^{2}}\ge \frac{{{4.2017}^{2}}}{2.4036}\Rightarrow P\ge \sqrt{\frac{{{2017}^{2}}}{2018}}=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{2017\sqrt{2018}}{2018}.\)

Vậy \(Min\;\;P = \frac{{2017\sqrt {2018} }}{{2018}}\) khi \(x = y = \frac{{2017\sqrt {2018} }}{{4036}}.\)

Chọn B