Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tìm phương trình mặt phẳng giao tuyến \(\left( P \right)\) của \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) (bằng cách lấy \(\left( {{S_1}} \right) - \left( {{S_2}} \right)\))

+ Lập phương trình đường thẳng \(d\) qua tâm \({I_1}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)  (hoặc qua tâm \({I_2}\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) )

+ Giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) chính là tâm \(J\) của đường tròn giao tuyến.

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(({S_1}):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 16\) có tâm \({I_1}(1;1;2)\) và bán kính \({R_1} = 4.\)

Mặt cầu \(({S_2}):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 9\)có tâm \({I_2} = ( - 1;2; - 1)\) và bán kính \({R_2} = 3.\)

Mặt phẳng giao tuyền \(\left( P \right)\) của \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\) có phương trình

\(\begin{array}{l}{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} - 9 = {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} - 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {z^2} + 2z + 1 - 9 = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} - 4z + 4 - 16\\ \Leftrightarrow 4x - 2y + 6z + 7 = 0\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \({I_1}\left( {1;1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {4; - 2;6} \right)\) làm VTCP là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + 6t\end{array} \right.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt hai mặt cầu theo đường tròn giao tuyến có tâm \(J\) là giao của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 2y + 6z - 7 = 0\) .

Tọa độ của \(J\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + 6t\\4x - 2y + 6z = 7 = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {1 + 4t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 6\left( {2 + 6t} \right) + 7 = 0 \Leftrightarrow 56t =  - 21\\ \Leftrightarrow t =  - \dfrac{{21}}{{56}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4.\left( {\dfrac{{ - 21}}{{56}}} \right) =  - \dfrac{1}{2}\\y = 1 - 2.\left( {\dfrac{{ - 21}}{{56}}} \right) = \dfrac{7}{4}\\z = 2 + 6.\left( {\dfrac{{ - 21}}{{56}}} \right) =  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{7}{4}; - \dfrac{1}{4}} \right)\end{array}\)

Chọn D.