a) Cho \(\sin x = \frac{1}{4}\) với \(\frac{\pi }{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tính \(\cos x\), từ đó tính \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Rút gọn H bởi các công thức lượng giác cos đối, sin bù, phụ chéo.

b)\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}};\,\,\,{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

\(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\,\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x.\)

Giải chi tiết:

a) Cho \(\sin x = \frac{1}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \). Tính \(H = \cos \left( {5\pi  - x} \right) + \tan \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\).

Ta có: \(\sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}}\)

Do  \(\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \cos x < 0 \Rightarrow \cos x =  - \sqrt {\frac{{15}}{{16}}}  =  - \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} =  - \sqrt {15} .\\ \Rightarrow H = \cos \left( {5\pi  - x} \right) + \tan \left( {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\pi  - x} \right) + \tan \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\\ =  - \cos x - \cot x = \frac{{\sqrt {15} }}{4} + \sqrt {15}  = \frac{{5\sqrt {15} }}{4}.\end{array}\)   

b) Chứng minh \(\frac{{\sin 2x}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right)}} = \tan 2x\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin 2x}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right)}} = \frac{{\sin 2x}}{{\frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x} \right)}}\\ = \frac{{\sin 2x}}{{\frac{{\cos x - \sin x}}{{\cos x + \sin x}}{{\left( {\cos x + \sin x} \right)}^2}}} = \frac{{\sin 2x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \tan 2x.\end{array}\)

Chọn B.