Cho \(\sin \alpha .\cos \left( {\alpha  + \beta }...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác biến tổng thành tích và biến tích thành tổng để biến đổi

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha .\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \beta  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) - \sin \beta } \right] = \sin \beta \\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta \\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) + \sin \beta  = 4\sin \beta \\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \alpha  = 4\sin \beta \\ \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \alpha  = 2\sin \alpha \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\end{array}\)

Vì  \(\alpha  + \beta  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + l\pi ,\,\,\left( {k,\,l \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0\\\cos \alpha  \ne 0\end{array} \right.\)

Chia cả 2 vế cho \(\cos \alpha .\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\)  ta được:

\(2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}} \Leftrightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha \)

Chọn D.