Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ n...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\\a \bot d,a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\) để tìm chiều cao hình chóp

Chỉ ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) rồi xác định đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC.\)

Từ đó khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là đoạn \(BK\) với  \(BK \bot SA\) tại \(K.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm đoạn \(AB\). Khi đó \(SH \bot AB\) (do tam giác \(SAB\) đều)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\,\left( {gt} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BA\\SH \bot AB\left( {cmt} \right);\,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot BC\)

Mà \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Trong tam giác \(SAB\), lấy \(K\) là trung điểm \(SA \Rightarrow BK \bot SA\) (do tam giác \(SAB\) đều)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BK\left( {do\,BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\\BK \bot SA\end{array} \right.\)  nên \(BK\) là đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\)

Mà \(BK\) là đường trung tuyến trong tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Hay khoảng cách giữa \(SA\) và \(BC\) là \(BK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn C.