Tính \(B = \frac{1}{{A_2^2}} + \frac{1}{{A_3^2}} +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xây dựng công thức tổng quát của bài toán:

\(k.\frac{{C_n^k}}{{C_n^{k - 1}}} = k.\frac{{\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}}}{{\frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k + 1)!}}}} = (n - k + 1)\)

Từ đó thay \(k = 1;\;2;\;3,.....,\;n.\)

Tính tổng từ đó tìm n.

Chú ý : \(\frac{k}{{n(n - k)}} = \frac{1}{{n - k}} - \frac{1}{n}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(C_n^1 = n;\;\;\;2\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} = 2.\frac{{\frac{{n!}}{{2!.(n - 2)!}}}}{{\frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}}}} = 2.\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{2.n}} = n - 1;......;\;n\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = n.\frac{1}{{\frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}}}} = \frac{n}{n} = 1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow C_n^1 + 2\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} + ... + n\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = 45 \Leftrightarrow 1 + 2 + 3 + .. + n = 45\\ \Leftrightarrow \frac{{n(n + 1)}}{2} = 45 \Leftrightarrow {n^2} + n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 9\;\;\left( {tm} \right)\\n =  -10\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\B = \frac{1}{{A_2^2}} + \frac{1}{{A_3^2}} + ... + \frac{1}{{A_n^2}} = \frac{1}{{\frac{{2!}}{{\left( {2 - 2} \right)!}}}} + \frac{1}{{\frac{{3!}}{{\left( {3 - 2} \right)!}}}} + ...... + \frac{1}{{\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}}}\\ = \frac{{0!}}{{2!}} + \frac{{1!}}{{3!}} + \frac{{2!}}{{4!}} + .... + \frac{{(n - 2)!}}{{n!}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{24}} + ..... + \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n.(n - 1)}}\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - .... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}\\ = 1 - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{9}} = \frac{8}{{9}}.\end{array}\)

Chọn A