Cho đường tròn \(\left( {O;\;R} \right)\) cố định....

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Sử dụng định lý: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  thì ba điểm \(A,\;B,\;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\)

c) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và công thức tính chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(AB + BC + CA.\)

d) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác và bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\) là tam giác cân tại \(O.\)

Xét \(\left( {O;\;R} \right)\) ta có: hai tiếp tuyến \(MA,\;MB\) cắt nhau tại \(M\)

\( \Rightarrow OM\) là tia phân giác  của \(\angle AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow OM\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của \(\Delta AOB\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow OM \bot AB = \left\{ H \right\}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Vì \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A \Rightarrow OA \bot AM = \left\{ A \right\}\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \Delta OMA\) vuông tại \(A\) 

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta OMA\) vuông tại \(A\)  có đường cao \(AH\) ta có:

\(OH.OM = O{A^2} = {R^2}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

b) Xét \(\left( O \right)\) có: \(I\) là trung điểm của \(PN\;\;\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow OI \bot NP = \left\{ I \right\}\) (quan hệ đường vuông góc với dây cung)

Hay \(OI \bot MI = \left\{ I \right\}.\)

\( \Rightarrow \Delta MOI\) là tam giác vuông tại \(I.\)

\( \Rightarrow M,\;O,\;I\) thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)     (1)

Ta có: \(\Delta MOA\) vuông tại \(A\;\;\left( {cmt} \right)\) 

\( \Rightarrow M,\;O,\;A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)     (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(M,\;O,\;A,\;I\)  cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\) (đpcm)

c) Xét \(\left( O \right)\) ta có:

Hai tiếp tuyến \(CD,\;MA\) cắt nhau tại \(C \Rightarrow CA = CN\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai tiếp tuyến \(CD,\;MB\) cắt nhau tại \(D \Rightarrow DN = DB\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai tiếp tuyến \(MA,\;MB\) cắt nhau tại \(M \Rightarrow MA = MB\)  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có chu vi \(\Delta MCD\) là:

\(\begin{array}{l}{C_{\Delta MCD}} = MC + CD + DM = MC + CN + DM\\ = MC + CA + BD + DM\;\;\left( {CA = CN,\;\;DN = DB\;\;cmt} \right)\\ = MA + MB = MA + MA\;\;\;\left( {MA = MB\;\;cmt} \right)\\ = 2.MA = 2.5 = 10\;\left( {cm} \right).\end{array}\)

d) Ta có: \({S_{MEF}} = {S_{MOE}} + {S_{MOF}} = \frac{1}{2}AO.ME + \frac{1}{2}BO.MF = \frac{1}{2}.R\left( {ME + MF} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

\(\begin{array}{l}ME = MA + AE \ge 2\sqrt {MA.AE}  = 2\sqrt {O{A^2}}  = 2R\\MF = MB + BF \ge 2\sqrt {MB.BF}  = 2\sqrt {O{B^2}}  = 2R\\ \Rightarrow {S_{MEF}} = \frac{1}{2}R.\left( {ME + MF} \right) \ge \frac{1}{2}R.\left( {2R + 2R} \right) = 2{R^2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = AE\\MB = BF\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta OEM,\;\;\Delta OFM\) là các tam giác vuông cân tại \(O.\)

\( \Leftrightarrow \Delta OMB,\;\;\Delta OMA\) vuông cân tại \(O \Leftrightarrow OA = AM = R \Leftrightarrow OM = R\sqrt 2 .\)

Vậy khi \(OM = R\sqrt 2 \) thì \({S_{\Delta MEF}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.