Giải phương trình : \({x^2} - \sqrt {{x^3} + x}  =...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2. Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  = a > 0\\\sqrt x  = b \ge 0\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Điều kiện \({x^3} + x = x\left( {{x^2} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).

Ta có: \({x^2} - \sqrt {{x^3} + x}  = 6x - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 1 - \sqrt {x\left( {{x^2} + 1} \right)}  - 6x = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  = a > 0\\\sqrt x  = b \ge 0\end{array} \right.\) , khi đó (1) \( \Leftrightarrow {a^2} - ab - 6{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2b} \right)\left( {a - 3b} \right) = 0\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2b\\a = 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  =  - 2\sqrt x \,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\\sqrt {{x^2} + 1}  = 3\sqrt x \end{array} \right.\)

Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 1}  = 3\sqrt x  \Leftrightarrow {x^2} + 1 - 9x = 0 \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l}x = \dfrac{{9 + \sqrt {77} }}{2}\\x = \dfrac{{9 - \sqrt {77} }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{9 \pm \sqrt {77} }}{2}\)