Biết đồ thị hàm số \(y = a\log _2^2x + b{\log _2}x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ${\log _2}x = t,$ xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành sau đó biện luận và áp dụng định lý Vi-ét.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

$a\log _2^2x + b{\log _2}x + c = 0.\;\;\left( * \right)$

Đặt ${\log _2}x = t,$ ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0.\;\;\left( 1 \right)$

Có: $x \in \left[ {1;\;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\;1} \right].$

Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {1;\;2} \right] \Leftrightarrow$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${t_1};\;{t_2} \in \left[ {0;\;1} \right]$

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} =  - \frac{b}{a}\\{t_1}{t_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..$

Theo đề bài ta có: $P = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}} = \frac{{2{a^2} - 3ab + {b^2}}}{{{a^2} - ab + ca}} = \frac{{2 - 3\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{{{\left( {{t_1} + {t_2}} \right)}^2} + 3\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2}}{{1 + {t_1} + {t_2} + {t_1}{t_2}}}.$

Lại có: $0 \le {t_1} < {t_2} \le 1 \Rightarrow t_1^2 \le {t_1}{t_2};\;\;t_2^2 \le 1 \Rightarrow {\left( {{t_1} + {t_2}} \right)^2} \le 3{t_1}{t_2} + 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{{{{\left( {{t_1} + {t_2}} \right)}^2} + 3\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2}}{{1 + \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + {t_1}{t_2}}} \le \frac{{3{t_1}{t_2} + 1 + 3\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2}}{{1 + {t_1}{t_2} + {t_1} + {t_2}}} = 3\\ \Rightarrow {P_{\min }} = 3.\end{array}$

Chọn  C.