Biết đồ thị hàm số \(y = a\log _2^2x + b{\log _2}x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({\log _2}x = t,\) xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành sau đó biện luận và áp dụng định lý Vi-ét.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

\(a\log _2^2x + b{\log _2}x + c = 0.\;\;\left( * \right)\)

Đặt \({\log _2}x = t,\) ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0.\;\;\left( 1 \right)\)

Có: \(x \in \left[ {1;\;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\;1} \right].\)

Phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {1;\;2} \right] \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({t_1};\;{t_2} \in \left[ {0;\;1} \right]\)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} =  - \frac{b}{a}\\{t_1}{t_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(P = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)}}{{a\left( {a - b + c} \right)}} = \frac{{2{a^2} - 3ab + {b^2}}}{{{a^2} - ab + ca}} = \frac{{2 - 3\frac{b}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}}}{{1 - \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}} = \frac{{{{\left( {{t_1} + {t_2}} \right)}^2} + 3\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2}}{{1 + {t_1} + {t_2} + {t_1}{t_2}}}.\)

Lại có: \(0 \le {t_1} < {t_2} \le 1 \Rightarrow t_1^2 \le {t_1}{t_2};\;\;t_2^2 \le 1 \Rightarrow {\left( {{t_1} + {t_2}} \right)^2} \le 3{t_1}{t_2} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{{{{\left( {{t_1} + {t_2}} \right)}^2} + 3\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2}}{{1 + \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + {t_1}{t_2}}} \le \frac{{3{t_1}{t_2} + 1 + 3\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 2}}{{1 + {t_1}{t_2} + {t_1} + {t_2}}} = 3\\ \Rightarrow {P_{\min }} = 3.\end{array}\)

Chọn  C.