Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x\cos x +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \left| {\sin x + \cos x} \right|\)

Biến đổi \(\sin 2x = {t^2} - 1.\)

Thay t vào phương trình : đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. Giải t.

Từ đó suy ra x.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \left| {\sin x + \cos x} \right|,\;\;\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right).\)

\( \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sin x.cosx \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1 \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}.\)

Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\t =  - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\) 

Với \(t = 1 \Rightarrow \sin 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\;\;\;\left( {k \in Z} \right).\)

Trong khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) các nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {\frac{\pi }{2};\,\;\pi ;\;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right\}.\)

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) là \(\frac{\pi }{2} + \pi  + \frac{{3\pi }}{2} = 3\pi .\)

Chọn C