Cho tam giác \(ABC\) và ba số dương \(x,y,z\) thay...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Với 3 vecto \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c :\,\,{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2} \ge 0.\) 

\(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha .\)

Giải chi tiết:

Đặt 3 vecto \(\overrightarrow {BX} ,\overrightarrow {CY} ,\overrightarrow {AZ} \) tương ứng là \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z .\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\overrightarrow x \overrightarrow y  + 2\overrightarrow y \overrightarrow z  + 2\overrightarrow z \overrightarrow x  \ge 0\\ \Leftrightarrow {k^2} + 2xy\cos \left( {{{180}^o} - \angle C} \right) + 2yz\cos \left( {{{180}^o} - \angle A} \right) + 2xz\cos \left( {{{180}^o} - \angle B} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 2xy\cos \angle C - 2yz\cos \angle A - 2xz\cos \angle B \ge 0\\ \Leftrightarrow xy\cos \angle C + yz\cos \angle A + xz\cos \angle B \le \frac{{{k^2}}}{2}\end{array}\)

Vậy \({\rm{Max }}P{\rm{ = }}\frac{{{k^2}}}{2}\)

Chọn  A