Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {N^*}\) thì lập tỉ số: \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu \(T > 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

+) Nếu \(T < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại 2 số \(M,\,m\) sao cho: \(m \le {u_n} \le M\,,\,\,\forall n \in {N^*}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}:\frac{{{2^n}}}{{n!}} = \frac{{{{2.2}^n}}}{{(n + 1)n!}}.\frac{{n!}}{{{2^n}}} = \frac{2}{{n + 1}} \le 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Mà \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy số giảm.

Vì \(0 < {u_n} \le {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.

Chọn D.