Tìm 3 số nguyên tố \(p,\,\,q,\,\,r\( sao cho \({p^...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập luận và đánh giá theo điều kiện cho trước: \({{p}^{q}}+{{q}^{p}}=r\).

Giải chi tiết:

Ta có \({{p}^{q}}+{{q}^{p}}=r\Rightarrow r>{{p}^{q}}\) và \(r > {q^p}\).

Giả sử \({p^q}\) là số chẵn suy ra \(p\) là số chẵn mà \(p\) là số nguyên tố nên \(p=2\).

Ta có: \({{2}^{q}}+{{q}^{2}}=r\). Lại có: \(p\) chẵn nên \(q\) là số nguyên tố lẻ và \(q \ge 3\)

Xét \(p = 2;\,\,q = 3 \Rightarrow r = {p^q} + {q^p} = {2^3} + {3^2} = 17\)   (thỏa mãn).

Xét \(q>3\Rightarrow {{2}^{q}}\) chia cho 3 dư 2 và\(\,{q^2}\) chia cho 3 dư 1.

Nên \(r = {2^q} + {q^2}\,\, \vdots \,\,3\) (vô lí).

Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là \(\left\{ 2;3;17 \right\}\).