Cho biểu thức: \(P=\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Phân tích và quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và thu gọn mẫu biểu thức P.

2) Lấy kết quả thu gọn của biểu thức P, chứng minh bất phương trình \(P>4\) luôn có nghiệm với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\)

Giải chi tiết:

1) Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1\)

\(\begin{align}  & P=\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \right) \\ & \ \ \ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}:\left( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \right)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}:\frac{x-1+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ & \ \ \ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}:\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ & \ \ \ =\frac{x-1}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}}. \\\end{align}\)

2) Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1\)

\(\begin{align}  & P>4\Leftrightarrow \frac{{{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}}>4\Leftrightarrow \frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-4>0 \\ & \Leftrightarrow \frac{x+2\sqrt{x}-4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>0 \\ & \Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1>0\ \ \ \left( do\ \ \sqrt{x}>0\ \ \forall x>0 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}>0. \\\end{align}\)

Với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\) ta luôn có \({{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}>0.\)

Vậy \(P>4\) với mọi \(x>0,\ \ x\ne 1\)

Chọn C