Tứ diện ABCD có \(AB = AC = AD = a;\,\,\widehat {B...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cách 1: Chứng minh bình thường.

Cách 2: Tham khảo chứng minh bằng vector.

\(\begin{array}{l}a)\,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos \widehat {BAD} - AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {CD} \end{array}\)

b) I; J là trung điểm của AB, CD. Ta có:

\(\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {AD.AB.\cos {{60}^0} + AB.AC.\cos {{60}^0} - A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} - {a^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {IJ} \,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)