Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức \({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\) và BĐT Cô-si.

Giải chi tiết:

\(VT = \frac{{{a^5}}}{{bc}} + \frac{{{b^5}}}{{ca}} + \frac{{{c^5}}}{{ab}} = \frac{{{a^6} + {b^6} + {c^6}}}{{abc}} \ge \frac{{{a^6} + {b^6} + {c^6}}}{{3abc}}\)

Ta có \({a^6} + {b^6} + {c^6} = {\left( {{a^3}} \right)^2} + {\left( {{b^3}} \right)^2} + {\left( {{c^3}} \right)^2} \ge {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)^2}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right).3abc\)

\( \Rightarrow VT \ge \frac{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right).3abc}}{{3abc}} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)