Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) v...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết:

Đặt \({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt\), đổi cận: \(x = 1 \to t = 2,\,\,\,x = 2 \to t = 5\)

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {{x^3}f'({x^2} + 1)dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {(t - 1)f'(t)} dt = \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {(t - 1)} \,d\left( {f(t)} \right) = \frac{1}{2}f(t).\left. {(t - 1)} \right|_2^5 - \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f(t)d(t - 1)} \\ = \frac{1}{2}f(t).\left. {(t - 1)} \right|_2^5 - \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f(t)dt}  = \frac{1}{2}\left( {f(5).4 - f(2).1} \right) - \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f(x)dx} \\ = \frac{1}{2}\left( {3.4 - 2.1} \right) - \frac{1}{2}.4 = 5 - 2 = 3\end{array}\)

Chọn: A