Tập hợp các giá trị của m để phương trình

Câu hỏi: Tập hợp các giá trị của m để phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x} + {(\frac{1}{3})}^{x} + {(\frac{1}{4})}^{x} = m (2^{x} + 3^{x} + 4^{x})$ có nghiệm thuộc [0;1] là [a;b]. Giá trị của a+b là

A. $\frac{4}{3}$

B. 2

C. $\frac{12}{101}$

D. $\frac{121}{108}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp: Sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải: ${(\frac{1}{2})}^{x} + {(\frac{1}{3})}^{x} + {(\frac{1}{4})}^{x} = m (2^{x} + 3^{x} + 4^{x})$

Xét hàm số trên [0;1]:

$y' = \frac{- (2^{- x} \ln 2 + 3^{- x} \ln 3 + 4^{- x} \ln 4) (2^{x} + 3^{x} + 4^{x})}{{(2^{x} + 3^{x} + 4^{x})}^{2}}$ $-$ $\frac{(2^{- x} + 3^{- x} + 4^{- x}) (2^{x} \ln 2 + 3^{x} \ln 3 + 4^{x} \ln 4)}{{(2^{x} + 3^{x} + 4^{x})}^{2}} < 0$ $\forall x \in$ [0;1]