Cho tích phân

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Phân tích: $\frac{1}{x^3+x^2}=\frac{1}{x^2\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}=\frac{Ax(x+1)+B(x+1)+C{x}^2}{x^2(x+1)}$ 

$\to \frac{1}{x^2\left(x1\right)}=\frac{\left(A+C\right)x^2+\left(A+B\right)x+B}{x^2\left(x+1\right)}$.

Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}A+C=0\\ A+B=0\\ B=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A=-1\\ B=1\\ C=1\end{array}\right.$. Vậy $\frac{1}{x^3+x^2}=\frac{1}{x^2(x+1)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có ${\int }_2^3\frac{1}{x^3+x^2}dx={\int }_2^3\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left(\ln \left|\frac{x+1}{x}\right|-\frac{1}{x}\right)\overline{){}_2^3=3\ln 2-2\ln 3+\frac{1}{6}}$.

Vậy $a=-2,b=3,c=\frac{1}{6}\to S=a+b+c=-2+3+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$.