Cho tích phân \(I = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left|...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

Cho \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\sqrt {x + 1} \left( {x - 1 - \sqrt {x + 1} } \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Ta có \(I = \left| {\int\limits_{ - \,1}^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x - 1} \right]\,{\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} \,{\rm{d}}x}  - \,\int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x + 1} \right)\,{\rm{d}}x} } \right|.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x - 1} \right)\sqrt {x + 1} \,{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t\,{\rm{d}}t\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\, \Leftrightarrow \,t = 2\\x = - \,1 \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right..\)

Khi đó \({I_1} = \int\limits_0^2 {\left( {{t^2} - 2} \right)t.2t\,{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^2 {\left( {2{t^4} - 4{t^2}} \right)\,{\rm{d}}t}  = \left. {\left( {\dfrac{{2{t^5}}}{5} - \dfrac{{4{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{32}}{{15}}.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_{ - \,1}^3 {\left( {x + 1} \right)\,{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - \,1}^3 = 8.\)

Vậy \(I = \left| {{I_1} - {I_2}} \right| = \left| {\frac{{32}}{{15}} - 8} \right| = \frac{{88}}{{15}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 88\\b = 15\end{array} \right. \Rightarrow P = a - 5b = 13.\)

Chọn D