Phương trình \(\left( {{{\sin }^2}x - 4{{\cos }^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi, đưa phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bậc bốn.

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{4}}x\).

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\left( {{{\sin }^2}x - 4{{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x} \right) = 3{\cos ^4}x \cr & \Leftrightarrow {\sin ^4}x - 2{\sin ^3}x\cos x - 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 8\sin x{\cos ^3}x - 3{\cos ^4}x = 0 \cr} \)

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\) 

Thay vào phương trình ta có: \(1=0\) (Vô lý)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^4}x\) ta được:

\({{{{\sin }^4}x} \over {{{\cos }^4}x}} - 2{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^3}x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 8{{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^4}x - 2{\tan ^3}x - 4{\tan ^2}x + 8\tan x - 3 = 0\)

Đặt \(\tan x=t\) khi đó phương trình có dạng:\({t^4} - 2{t^3} - 4{t^2} + 8t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} - {t^2} - 5t + 3} \right) = 0\)

Phương trình trên có 4 nghiệm t phân biệt

\(\tan x = t \Leftrightarrow x = \arctan \left( t \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) nên mỗi nghiệm t ứng với một họ nghiệm của x.

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

Chọn A.