Nguyên hàm của hàm số \(y = \int {{{\left( {{x^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu, biến đổi biểu thức, ta có nhận xét \(\left( {x{e^x} + 1} \right)' = \left( {x + 1} \right){e^x}\) nên đặt \(\left\{ \matrix{  u = x{e^x} \hfill \cr   dv = {{\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx \hfill \cr}  \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {x + {e^{ - x}}}}dx}  = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}} \over {{{x{e^x} + 1} \over {{e^x}}}}}dx}  = \int {{{\left( {{x^2} + x} \right){e^{2x}}} \over {x{e^x} + 1}}dx}  = \int {{{x{e^x}\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx} .\)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x{e^x} \hfill \cr   dv = {{\left( {x + 1} \right){e^x}} \over {x{e^x} + 1}}dx = {{d\left( {x{e^x} + 1} \right)} \over {x{e^x} + 1}} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx \hfill \cr   v = \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó ta có: \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  + C.\)

Đặt

\(\eqalign{  & t = x{e^x} + 1 \Rightarrow dt = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx = \left( {x + 1} \right){e^x}dx \Rightarrow \int {\ln \left| {x{e^x} + 1} \right|\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \int {\ln \left| t \right|dt}   \cr   & \left\{ \matrix{  u = \ln \left| t \right| \hfill \cr   dv = dt \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = {1 \over t}dt \hfill \cr   v = t \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \int {\ln \left| t \right|dt}  = \ln \left| t \right|.t - \int {dt}  + C = \ln \left| t \right|.t - t + C = \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right) + C. \cr} \)

 Vậy \(I = x{e^x}\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| - \left( {x{e^x} + 1} \right)\ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + \left( {x{e^x} + 1} \right) + C = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C.\)

Chọn A.