Cho lăng trụ đứng ABC .A’B’C’ có đáy là tam giác đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tam giác ABC đều cạnh a \(\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

+ Góc giữa mặt bên (P) và mặt đáy (Q)   :

\(\begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\I \in d\\IS \bot d\,\,\,\,\left( {IS \in \left( P \right)} \right)\\IO \bot d\,\,\,\left( {IO \in \left( Q \right)} \right)\end{array}\)

Góc giữa mặt bên (P) và mặt đáy (Q) = Góc SIO.

Giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của B’C’. Vì tam giác A’B’C’ đều \(\Rightarrow A'M\bot B'C'\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(AA'\bot \left( A'B'C' \right)\Rightarrow AA'\bot B'C'\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow B'C'\bot \left( AA'M \right)\Rightarrow B'C'\bot AM\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'\\\left( {AB'C'} \right) \supset AM \bot B'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset A'M' \bot B'C'\end{array} \right.\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AM;A'M} \right)} = \widehat {AMA'} = {60^0}\end{array}\)

Tam giác A’MC’ vuông tại M\(\Rightarrow A'M=A'C'.\sin 60=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Tam giác AA’M vuông tại A \(\Rightarrow AA'=A'M.\tan 60=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=AA'.{{S}_{ABC}}=\frac{3a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\)

Chọn đáp án A.