Giải phương trình\(2x + 3 + \sqrt {4{x^2} + 9x + 2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

 Pt\( \Leftrightarrow \) \(2x + 3 + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)}  = 2\sqrt {x + 2}  + \sqrt {4x + 1} .\) ĐK:\(x \ge  - \dfrac{1}{4}\)

Đặt \(t = 2\sqrt {x + 2}  + \sqrt {4x + 1} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} = 4\left( {x + 2} \right) + 4x + 1 + 4\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow 2x + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)}  = \dfrac{{{t^2} - 9}}{4}\end{array}\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right.\).

TH1: \(t = 1 \Leftrightarrow 2x + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)}  =  - 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)}  =  - 2x - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - 2 \ge 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right) = {\left( { - 2x - 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 1\\x = 2\end{array} \right.\) (vô nghiệm).

TH2. \(t = 3 \Leftrightarrow 2x + \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right)}  =  - 2x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x \ge 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {4x + 1} \right) = {\left( { - 2x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\9x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{9}\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{2}{9}\)