Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin x\sin 2x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích tử số thành nhân tử

Rút gọn biểu thức bằng cách chia tử mẫu cho nhân tử chung

Giải chi tiết:

Điều kiện \(\sin x + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{{\sin x\sin 2x + 2\sin x{{\cos }^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \;\frac{{\sin x\sin 2x + \sin 2x\cos x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sin 2x + 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \sqrt 3 \cos 2x =  - 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{6} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( { - \pi ;\;\pi } \right) \Leftrightarrow  - \pi  < \frac{\pi }{{12}} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{{13}}{{12}} < k < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;\;0} \right\}.\)

Vậy trên \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình đã cho có các nghiệm là: \(\frac{\pi }{{12}}; - \frac{{11\pi }}{{12}}\). 

Chọn A