Tổng các nghiệm của phương trình  \(2\cos 2x\, - \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Quy đồng và đưa phương trình về phương trình đa thức của cosx

-        Phân tích thành nhân tử

Giải chi tiết:

Điều kiện:   \(\cos x\, \ne \,0.\)   Nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(\cos x\, \ne \,0\) ta có

      \(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x\, - \,8{\cos ^2}x\, + \,7\cos x\, = \,1\\ \Leftrightarrow \,2\cos x(2{\cos ^2}x\, - \,1)\, - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,7\cos x = \,1\\ \Leftrightarrow \,4{\cos ^3}x - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,5\cos x - \,1\, = \,0\\ \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1)(4{\cos ^2}x\, - \,4\cos x\, + \,1)\, = \,0\,\\ \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1){(2\cos x - \,1)^2}\, = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\cos x\, = \,1\\\cos x\, = \,\frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,k2\pi \\x = \, \pm \frac{\pi }{3}\, + \,m2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k\,,\;m \in \,\mathbb{Z})\end{array}\)

 Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;3\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < k2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow 0 < k < \frac{3}{2} \Leftrightarrow k = 1\\0 < \,\frac{\pi }{3}\, + \,m2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} < m < \frac{4}{3} \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\\0 < \, - \frac{\pi }{3}\, + \,l2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{3} < l < \frac{5}{3} \Leftrightarrow l = 1\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm là: \(2\pi  + \frac{\pi }{3} + \left( {\frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) + \left( { - \frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) = \frac{{19\pi }}{3}\)