Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{ar...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2.$

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Giải chi tiết:

Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ , liên tục trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = 3;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3$

Để hàm số liên tục tại $x = 2$  thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = 3$ .

Với $m = 1$  thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 3$ .

$\Rightarrow m = 1$ thỏa mãn bài toán.

Với $m \ne 1$  thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - mx - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ {\left( {x + 1} \right) + \frac{{1 - m}}{{x - 2}}} \right] = \infty$

$\Rightarrow m \ne 1$ không thỏa mãn bài toán.

Vậy $m = 1$  thì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$.

Chọn C.