Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuô...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{SAC}}}}\)

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \frac{a}{2}\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Ta có : \({S_{ACD}} = \frac{1}{2}d\left( {C;AD} \right).AD = \frac{1}{2}.a.4a = 2{a^2}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ACD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.2{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}\).

Kẻ \(HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HE\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AC \bot SE \Rightarrow {S_{SAC}} = \frac{1}{2}SE.AC\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AHE \sim \Delta ACB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{HE}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{HE}}{a} = \dfrac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} \Leftrightarrow HE = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow SE = \sqrt {H{E^2} + S{H^2}} = \sqrt {\frac{{2{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\\
\Rightarrow {S_{SAC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

Vậy \(d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ACD}}}}{{{S_{SAC}}}} = \dfrac{{{a^3}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn A.