Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu th...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{81{x^2} + 18225x + 1}}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}}\) với \(x > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{81{x^2} + 18225x + 1}}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}}\\P = 9x + 2025 + \frac{1}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}}\end{array}\)

Ta chứng minh \(\frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}} \le 9\,\,\forall x > 0\).

Giả sử :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}} \le 9\\ \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}} - \frac{{9x + 9}}{{x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt x  + 8 - 9x - 9}}{{x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 9x + 6\sqrt x  - 1}}{{x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - {{\left( {3\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0\end{array}\)

Ta có \(x > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 1;\,\,{\left( {3\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow \frac{{ - {{\left( {3\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0\,\,\forall x > 0\)

\( \Rightarrow \frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}} \le 9\,\,\forall x > 0 \Rightarrow  - \frac{{6\sqrt x  + 8}}{{x + 1}} \ge  - 9\forall x > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge 2\sqrt {9x.\frac{1}{{9x}}}  + 2025 - 9\\ \Leftrightarrow P \ge 2018\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x = \frac{1}{{9x}}\\3\sqrt x  - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}81{x^2} = 1\\\sqrt x  = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\).

Vậy \({P_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\).