Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh tứ giác BEDC có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

2) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE.

3) Chứng minh các tứ giác BEHF và CDHF là các tứ giác nội tiếp.

4) Chứng minh \(\widehat {DOC} = \widehat {DEF} = 2\widehat {{B_1}}\).

Giải chi tiết:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác \(BEDC\) ta có: \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\;\left( {gt} \right)\)

Mà hai góc này là hai góc kề 1 cạnh và cùng nhìn đoạn \(BC.\)

\( \Rightarrow BEDC\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

2) Chứng minh AE.AB = AD.AC.

Vì \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat A\;chung\\\widehat {AED} = \widehat {ABC}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow AD.AC = AE.AB\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

3) Chứng minh FH  là phân giác của \(\widehat {EFD}.\)

Ta có: \(BEHF\) là tứ giác nội tiếp \(\left( {do\;\;\widehat {BEH} + \widehat {HFB} = {{90}^0} + {{90}^0} = {{180}^0}} \right).\)

\( \Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {EFH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EH\))                  (1)

Có \(DCFH\) là tứ giác nội tiếp \(\left( {do\;\;\widehat {HFC} + \widehat {HDC} = {{90}^0} + {{90}^0} = {{180}^0}} \right).\)

\( \Rightarrow \widehat {DCH} = \widehat {DFH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\))                  (2)

Mà \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {DCH} = \widehat {EBH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\))                  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\widehat {EFH} = \widehat {HFD}.\)

Hay \(FH\) là phân giác của \(\widehat {EFD}.\) (đpcm)

4) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh \(\widehat {DOC} = \widehat {FED}.\) 

Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) có đường trung tuyến \(DO \Rightarrow DO = OB = OC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

\( \Rightarrow \Delta BOD\) cân tại \(O \Rightarrow \widehat {BDO} = \widehat {DBO}\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {DOC} = \widehat {DBO} + \widehat {BDO} = 2\widehat {DBO} = 2\widehat {{B_1}}.\)

Vì \(EBCD\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))

Vì \(BEHF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{E_2}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF\))

\( \Rightarrow \widehat {DOC} = 2\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = \widehat {FED}.\;\;\;\left( {dpcm} \right)\)