a) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Giải bài bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diện các đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.

+) Theo giả thiết bài cho lập phương trình hoặc hệ phương trình.

+) Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.

+) Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận.

b) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

a) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174 m. Nếu tăng chiều rộng 5 m và giảm chiều dài 2 m thì diện tích mảnh vườn đó tăng thêm 215 m². Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn.

Nửa chu vi của hình chữ nhật là là: \(174:2=87\ m.\)

Gọi chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x\ \left( m \right)\) và chiều rộng là \(y\ \left( m \right),\ \ \left( 0<y<x

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(x+y=87.\ \ \ \left( 1 \right)\)

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(xy\ \left( {{m}^{2}} \right).\)

Tăng chiều rộng thêm \(5m\) ta được chiều rộng mới là: \(y+5\ \ \left( m \right).\)

Giảm chiều dài đi \(2m\) ta được chiều dài mới là: \(x-2\ \ \left( m \right).\)

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mới là:  \(\left( x-2 \right)\left( y+5 \right)=xy+5x-2y-10\ \ \left( {{m}^{2}} \right).\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(xy+5x-2y-10=xy+215\Leftrightarrow 5x-2y=225\ \ \ \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 87\\
5x - 2y = 225
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 2y = 174\\
5x - 2y = 225
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 87 - x\\
7x = 399
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 57\;\;\left( {tm} \right)\\
y = 30\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là \(57\ m\) và chiều rộng là \(30\ m.\)

b) Giải phương trình: \(5{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2}=4.\)

\(\ \ \ \ 5{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+2}=4\ \ \left( * \right)\)

Đặt \(\sqrt{{{x}^{2}}+2}=t.\) Vì \({{x}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{x}^{2}}+2\ge 2\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2}\ge \sqrt{2}\Rightarrow t\ge \sqrt{2}.\)

Ta có: \({{t}^{2}}={{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{t}^{2}}-2.\)

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow 5{\left( {{t^2} - 2} \right)^2} - 2\left( {{t^2} - 2} \right) - 3\left( {{t^2} - 2} \right)t = 4\\
\Leftrightarrow 5{t^4} - 20{t^2} + 20 - 2{t^2} + 4 - 3{t^3} + 6t - 4 = 0\\
\Leftrightarrow 5{t^4} - 3{t^3} - 22{t^2} + 6t + 20 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {5{t^3} - 8{t^2} - 14t + 20} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right)\left( {5{t^2} + 2t - 10} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t + 1 = 0\\
t - 2 = 0\\
5{t^2} + 2t - 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
t = 2\;\;\left( {tm} \right)\\
5{t^2} + 2t - 10 = 0\;\;\;\left( 1 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải phương trình (1) ta  có: \(\Delta '=1+5.10=51>0.\)

\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{align}  & {{t}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{51}}{5}\approx 1,22<\sqrt{2}\ \ \left( ktm \right) \\ & {{t}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{51}}{5}\ \ \left( ktm \right) \\\end{align} \right..\)

\(\Rightarrow t=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{t}^{2}}-2=4-2=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{ -\sqrt{2};\ \sqrt{2} \right\}.\)

Chọn B