Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ một điểm C th...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-          Ta sẽ chứng minh C là trung điểm của cung DE, từ đó suy ra các góc tương ứng.

-          Chứng minh CKHI là hình chữ nhật.

Giải chi tiết:

a)      Hai tam giác CAD và CDI đồng dạng.

Ta có ngay:

Do đường tròn đường kính CH cắt (O) tại D và E nên: \(CD = CE\). Do vậy C là điểm chính giữa của cung DE.

Từ đó: \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Do vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {CDE} = \widehat {CAD}\\\widehat {DCA}\,\,chung\end{array} \right. \Rightarrow \Delta CAD \sim \Delta CDI\,\,\left( {g.g} \right)\)

b)     N là trung điểm của CH.

Ta có :

\(\begin{array}{l}\Delta CAD \sim \Delta CDI\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{CD}}{{CI}} \Rightarrow C{D^2} = CA.CI = C{H^2}\\ \Rightarrow CA.CI = C{H^2} \Rightarrow \frac{{CA}}{{CH}} = \frac{{CH}}{{CI}}\\ \Rightarrow \Delta CIH \sim \Delta CHA\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {CIH} = \widehat {CHA} = {90^0}\\ \Rightarrow IH \bot CA\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có HK vuông CB.

\( \Rightarrow \) Tứ giác CIHK là hình chữ nhật (Tứ giác có ba góc vuông)

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo CH và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vậy N là trung điểm của CH và IK.