1)      Giải phương trình\({x^2} - x + 2\sqrt {{x^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Câu I

   Giải phương trình \({x^2} - x + 2\sqrt {{x^3} + 1}  = 2\sqrt {x + 1} \)

Cách 1: Điều kiện: x ≥ –1

\(\begin{array}{l}{x^2} - x + 2\sqrt {{x^3} + 1}  = 2\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}  = 2\sqrt {x + 1} \end{array}\)

Đặt:

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\b = \sqrt {x + 1} \\a.b > 0\end{array} \right.\\PT \Leftrightarrow {a^2} - 1 + 2ab = 2b\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) + 2b\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1 + 2b} \right) = 0\end{array}\)

Do \(a + 1 + 2b > 1 \Rightarrow a = 1\)

Khi đó ta có: \({x^2} - x + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;1}

Cách 2:

Điều kiện: x ≥ –1

Phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}{x^2} - x + 2\left( {\sqrt {{x^3} + 1}  - \sqrt {x + 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 2.\frac{{{x^3} - x}}{{\sqrt {{x^3} + 1}  + \sqrt {x + 1} }} = 0\,\,\left( {x >  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left[ {1 + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 1}  + \sqrt {x + 1} }}} \right] = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Vì \(x >  - 1 \Rightarrow 1 + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 1}  + \sqrt {x + 1} }} > 0\) nên

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;1}

  Giải hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y\\{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 4 + x\end{array} \right.\)

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y\\{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 2\left( {xy + {y^2}} \right) = 4 + x + 2\left( {1 + y} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 4xy + 4{y^2} = x + 2y + 6{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} - \left( {x + 2y} \right) - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2y - 3} \right)\left( {x + 2y + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\x =  - 2 - 2y\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó hệ đã cho tương đương với

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\\left( {3 - 2y} \right)y + {y^2} = 1 + y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 2y\\\left( { - 2 - 2y} \right)y + {y^2} = 1 + y\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 2y\\{y^2} + 3y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\\x = 1 + \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {1;1} \right);\left( {1 - \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)