Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\\left( Q \right) \supset d\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

d) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BD \bot AC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle CSB\).

Trong tam giác \(SBC\) vuông tại  \(B\) ta có :

\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {12{a^2} + 4{a^2}}  = 4a\\BC = 2a \Rightarrow \tan \angle CSB = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle CSB \approx {26^0}34'\end{array}\)

Vậy \(\angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) \approx {26^0}34'\).

c) Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\\left( {SBD} \right) \supset SO \bot BD\\\left( {ABCD} \right) \supset AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SO;AO} \right) = \angle SOA\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow AC = BD = 2a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = a\sqrt 2 \).

Trong tam giác vuông \(SAO\) ta có :

\(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}}  = \sqrt {12{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt {14} \).

\( \Rightarrow \tan \angle SOA = \dfrac{{SA}}{{AO}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 7  \Rightarrow \angle SOA \approx {69^0}18'\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) \approx {69^0}18'\). 

d) Trong \(\left( {SAO} \right)\) kẻ \(AH \bot SO\,\,\left( {H \in SO} \right)\).

Ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOA\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).

Trong \(\left( SAB \right)\), gọi \(I=AG\cap SB\) ta có: \(AG\cap \left( SBD \right)=I\).

\(\Rightarrow \dfrac{d\left( G;\left( SBD \right) \right)}{d\left( A;\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{GI}{AI}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d\left( G;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{2\sqrt{21}a}{21}\).