Cho \(x,y,z\)  là các số thực dương. Chứng minh rằ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi từng căn thức ở mẫu thông qua BĐT Cô-si.

Giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({x^2} + {y^2} \ge 2xy.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 14xy}  = \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 12xy + 2xy}  \le \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 12xy + {x^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {8{x^2} + 3{y^2} + 14xy}  \le \sqrt {9{x^2} + 12xy + 4{y^2}}  = \sqrt {{{\left( {3x + 2y} \right)}^2}}  = 3x + 2y\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {8{y^2} + 3{z^2} + 14yz}  \le 3y + 2z\\\sqrt {8{z^2} + 3{x^2} + 14xz}  \le 3z + 2x\end{array} \right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schawz: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{x + y + z}}\) ta được:

\( \Rightarrow VT \ge \frac{{{x^2}}}{{3x + 2y}} + \frac{{{y^2}}}{{3y + 2z}} + \frac{{{z^2}}}{{3z + 2x}} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{3x + 2y + 3y + 2z + 3z + 2x}} = \frac{{x + y + z}}{5}.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = y = z.\)