Cho đường tròn tâm \(\left( O;R \right)\) có đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AHEK có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác CKE đồng dạng với tam giác CHA.

c) Chứng minh hai góc ở đáy của tam giác NFK bằng nhau.

d) Chứng minh tam giác OBK vuông cân tại O \(\Rightarrow OK\bot OB\), từ đó suy ra OK // MN.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\widehat{AKB}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \widehat{AKE}={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác AHEK có \(\widehat{AKE}+\widehat{AHE}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh CA.CK = CE.CH

Xét tam giác CKE và tam giác CHA có:

\(\widehat{CKE}=\widehat{CHA}={{90}^{0}};\)

\(\widehat{ACH}\) chung;

\(\Rightarrow \Delta CKE\backsim \Delta CHA\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{CK}{CH}=\frac{CE}{CA}\Rightarrow CA.CK=CE.CH\)(đpcm).

c) Qua điểm N kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt MK tại F. Chứng minh tam giác NFK cân.

Ta có \(d\bot AC;\,\,\widehat{AKB}={{90}^{0}}\Rightarrow BK\bot AK\Rightarrow BK\bot AC\Rightarrow d//BK\). (từ vuông góc đến song song).

Xét tam giác OMN có \(OM=ON\left( =R \right)\Rightarrow \Delta OMN\) cân tại O.

\(\Rightarrow \) Đường cao OH đồng thời là đường phân giác \(\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{NOB}\Rightarrow \) sđ cung MB = sđ cung NB.

\(\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{NKB}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Ta có \(\widehat{KFN}=\widehat{MKB}\) (đồng vị);

\(\widehat{KNF}=\widehat{NKB}\) (so le trong);

Mà \(\widehat{MKB}=\widehat{NKB}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{KFN}=\widehat{KNF}\Rightarrow \Delta NEK\) cân tại K.

d) Khi KE = KC. Chứng minh OK // MN.

Ta có \(\widehat{AKB}={{90}^{0}}\Rightarrow BK\bot AK\Rightarrow BK\bot AC\Rightarrow \Delta KEC\) vuông tại K.

Lại có KE = KC (gt) \(\Rightarrow \Delta KEC\) vuông cân tại K \(\Rightarrow \widehat{KEC}={{45}^{0}}\) ;

\(\Rightarrow \widehat{HEB}=\widehat{KEC}={{45}^{0}}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow \Delta HEB\) vuông cân tại H \(\Rightarrow \widehat{HBE}={{45}^{0}}\Rightarrow \widehat{OBK}={{45}^{0}}\)

Tam giác OBK có \(OB=OK\ \left( =R \right)\Rightarrow \Delta OBK\) cân tại O \(\Rightarrow \widehat{OBK}=\widehat{OKB}={{45}^{0}}\)

\(\Rightarrow \widehat{BOK}={{180}^{0}}-{{45}^{0}}-{{45}^{0}}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta BOK\) vuông cân tại \(O\Rightarrow OK\bot OB\) ;

Lại có \(MN\bot AB\,\,\left( gt \right)\Rightarrow MN\bot OB\).

Vậy MN // OK.