Cho \(a,\;b,\;c > 0\), chứng minh rằng:\(\frac{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\) và \(\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\), từ đó suy ra đpcm.

Giải chi tiết:

Cho \(a,b,c > 0\), chứng minh rằng: \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và \(b + c\) ta được:

\(\frac{{a + \left( {b + c} \right)}}{2} \ge \sqrt {a\left( {b + c} \right)}  > 0 \Rightarrow \frac{2}{{a + b + c}} \le \frac{1}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }}\)

\( \Rightarrow \frac{{2a}}{{a + b + c}} \le \frac{a}{{\sqrt {a\left( {b + c} \right)} }} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  \ge \frac{{2a}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 1 \right)\) 

Chứng minh tương tự ta được:  \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  \ge \frac{{2b}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 2 \right)\\\sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  \ge \frac{{2c}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)  

Cộng  (1), (2) và (3) vế theo vế ta được:    \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  \ge 2\)     (*)

 Ta chứng minh \(\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 4 \right)\)   

Thật vậy ta có \(\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow {a^2} + ab + ac < {a^2} + ab + ac + bc \Leftrightarrow bc > 0\) (luôn đúng do \(a,b,c > 0\))

Tương tự ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 5 \right)\\\frac{c}{{c + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c}}\;\;\;\left( 6 \right)\end{array} \right.\)  

Cộng  (4), (5) và (6) vế theo vế ta được:    \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < 2\)   (**)

Từ (*) và (**)  suy ra  \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}} < \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \)   (đpcm)