Giải phương trình: \(\sqrt {5{x^2} + 4x}  - \sqrt...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định

+) Chuyển vế để bình phương hai vế không âm

+) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {{x^2} - 6x}  \ge 0\\b = \sqrt {x + 3}  \ge 0\end{array} \right.\). Biến đổi đưa về phương trình tích từ đó giải tìm \(x\)

Giải chi tiết:

Giải phương trình: \(\sqrt {5{x^2} + 4x}  - \sqrt {{x^2} - 3x - 18}  = 5\sqrt x \)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 4x \ge 0\\{x^2} - 3x - 18 \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {5x + 4} \right) \ge 0\\\left( {x - 6} \right)\left( {x + 3} \right) \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le  - \frac{4}{5}\end{array} \right.\\x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 6\)   (*)

Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} + 4x}  = \sqrt {{x^2} - 3x - 18}  + 5\sqrt x \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x = {x^2} + 22x - 18 + 10\sqrt {x\left( {{x^2} - 3x - 18} \right)} \\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 18x + 18 = 10\sqrt {x\left( {{x^2} - 3x - 18} \right)} \\ \Leftrightarrow 5\sqrt {x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 3} \right)}  = 2{x^2} - 9x + 9\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {\left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {x + 3} \right)}  = 2\left( {{x^2} - 6x} \right) + 3\left( {x + 3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {{x^2} - 6x}  \ge 0\\b = \sqrt {x + 3}  \ge 0\end{array} \right.\) . Khi đó (1) trở thành: \(2{a^2} + 3{b^2} - 5ab = 0\)

 \( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a - 3b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\2a = 3b\end{array} \right.\)

+) TH1: \(a = b \Rightarrow {x^2} - 6x = x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\,\,\,(tm)\\x = \frac{{7 - \sqrt {61} }}{2}\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\)

+) TH2: \(2a = 3b \Leftrightarrow 4{a^2} = 9{b^2} \Rightarrow 4\left( {{x^2} - 6x} \right) = 9\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow 4{x^2} - 33x - 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\,\,\,(tm)\\x =  - \frac{3}{4}\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x = \frac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\,\,;\,\,x = 9\) 

Chọn B.