Cho \(\Delta ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn để suy ra \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp, chứng minh tứ giác BCEF có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \(\alpha \).

b) Chứng minh \(\Delta IBD \sim \Delta IDC\) để suy ra đpcm

c) Chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau dựa vào các định lý Talet thuận và đảo để suy ra các tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp.

Ta có \(\angle AEH = \angle AFH = {90^o} \Rightarrow \) E, F thuộc đường tròn đường kính AH

\( \Rightarrow \) A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

\( \Rightarrow AEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có \(\angle BEC = \angle BFC = {90^o} \Rightarrow \) BCEF  là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại I. Vẽ tiếp tuyến ID với \(\left( O \right)\)(D là tiếp điểm, D thuộc cung nhỏ BC). Chứng minh \(I{D^2} = IB.IC\).

Xét \(\Delta IBD\) và \(\Delta IDC\) có:

\(\angle I\)  chung

\(\angle IDB = \angle ICD\) (ID là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta IBD \sim \Delta IDC\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{IB}}{{ID}}\\ \Rightarrow I{D^2} = IB.IC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) DE, DF cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại M và N. Chứng minh NM // EF.

Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta IFC\) có:

\(\angle I\) chung

\(\angle IEB = \angle ICF\) (BCEF  là tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \Delta IBE \sim \Delta IFC\,\,\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{IE}}{{IC}} = \frac{{IB}}{{IF}} \Rightarrow IB.IC = IE.IF\) (kết hợp b)

\( \Rightarrow I{D^2} = IE.IF \Rightarrow \frac{{ID}}{{IE}} = \frac{{IF}}{{ID}}\) 

Xét \(\Delta IDF\) và \(\Delta IED\) có:

\(\angle I\) chung

 \(\frac{{ID}}{{IE}} = \frac{{IF}}{{ID}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta IDF \sim \Delta IED \Rightarrow \angle IDF = \angle IED\) (2 góc tương ứng)

Mặt khác \(\angle IDF = \angle NMD\) (ID là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \angle IED = \angle NMD\) (tc)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow \) NM // EF.