Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và có các cạnh bên vuông góc với đáy.

+) Chọn hệ trục tọa độ phù hợp để làm bài toán.

+) \(MN\) là đoạn vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & MN\bot A'C \\  & MN\bot BC' \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết:

Xét hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng \(2\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có gốc tọa độ là trung điểm của \(BC.\) 

Ta có các điểm: \(O\left( 0;\ 0;\ 0 \right);\ A\in Ox\Rightarrow A\left( \sqrt{3};\ 0;\ 0 \right)\)

\(\begin{align}  & B;\ C\in Oy\Rightarrow B\left( 0;\ -1;\ 0 \right),\ \ C\left( 0;\ 1;\ 0 \right). \\  & A'\left( \sqrt{3};\ 0;\ 2 \right);\ C'\left( 0;\ 1;\ 2 \right). \\  & \Rightarrow \overrightarrow{A'C}=\left( -\sqrt{3};\ 1;\ -2 \right);\ \ \overrightarrow{BC}=\left( 0;\ 2;\ 2 \right)=\left( 0;\ 1;\ 1 \right). \\ \end{align}\)

Phương trình đường thẳng \(A'C\) là: \(\left\{ \begin{align}  & x=-\sqrt{3}{{t}_{1}} \\  & y=1+{{t}_{1}} \\  & z=-2{{t}_{1}} \\ \end{align} \right..\)

Phương trình đường thẳng \(BC'\) là: \(\left\{ \begin{align}  & x=0 \\  & y=-1+{{t}_{2}} \\  & z={{t}_{2}} \\ \end{align} \right..\)

Ta có điểm \(M\in A'C\Rightarrow M\left( -\sqrt{3}{{t}_{1}};1+{{t}_{1}};-2{{t}_{1}} \right);\ N\in BC'\Rightarrow N\left( 0;\ -1+{{t}_{2}};\ {{t}_{2}} \right).\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}\left( \sqrt{3}{{t}_{1}};\ {{t}_{2}}-{{t}_{1}}-2;\ {{t}_{2}}+2{{t}_{1}} \right)\)

\(MN\) là đoạn vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MN \bot A'C\\
MN \bot BC'
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} = 0\\
\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'} = 0
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \sqrt 3 {t_1}.\sqrt 3 + {t_2} - {t_1} - 2 - 2\left( {{t_2} + 2{t_1}} \right) = 0\\
{t_2} - {t_1} - 2 + {t_2} + 2{t_1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 8{t_1} - {t_2} = 2\\
{t_1} + 2{t_2} = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = - \frac{2}{5}\\
{t_2} = \frac{6}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {0;\;\frac{1}{5};\;\frac{6}{5}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {NB} = \left( {0;\; - \frac{6}{5};\; - \frac{6}{5}} \right)\\
\overrightarrow {NC'} = \left( {0;\;\frac{4}{5};\;\frac{4}{5}\;} \right)
\end{array} \right..\\
\Rightarrow \frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {NB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {NC'} } \right|}} = \frac{{\sqrt {\frac{{36}}{{25}}.2} }}{{\sqrt {\frac{{16}}{{25}}.2} }} = \sqrt {\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}.
\end{array}\)

Chọn A.