Cho nửa đường tròn \(\left( O;R...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác ACKH có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

b) Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp : hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Chứng minh hai góc đó cùng bằng \(\widehat{CAM}\).

c) Chứng minh tam giác ACN và tam giác AMC đồng dạng và sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{AKC}={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \) Tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn đường kính AC (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

b) Tứ giác ACKH nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{CAM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK).

Tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn \(\left( O;R \right)\Rightarrow \widehat{CAM}=\widehat{CBM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM).

 \(\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{CBM}\,\,\left( =\widehat{CAM} \right)\).

c) Ta có \(\widehat{ACB}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat{CAH}\().

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) \(\Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{AMC}\).

Xét tam giác ACN và tam giác AMC có :

\(\widehat{CAM}\) chung.

\(\widehat{ACN}=\widehat{AMC}\,\,\,\left( cmt \right)\).

\(\Rightarrow \Delta ACN\backsim \Delta AMC\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AC}{AM}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow AM.AN=A{{C}^{2}}\)

\(\Rightarrow P=AM.AN+B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}={{\left( 2R \right)}^{2}}=4{{R}^{2}}\) (định lí Pytago trong tam giác vuông ABC).

 Chọn B