Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AHEC có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Sử dụng các tính chất: góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây 1 cung cùng chắn cung thì bằng nhau, hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.

c) Chứng minh tam giác ABE có BD là đường cao đồng thời là phân giác.

d) Chứng minh tứ giác AKEF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và một đường chéo là tia phân giác của 1 góc.

Giải chi tiết:

a) Do \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ACE} = {90^0}\).

Xét tứ giác AHEC có \(\widehat {ACE} + \widehat {AHE} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AHEC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {HAE}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và

dây cung cùng chắn cung AD).

Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {CAE}\,\,\left( {gt} \right);\,\,\widehat {CAE} = \widehat {DBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).

\( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DBC}\).

c) Ta có \(\widehat {ADB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BD \bot AE\).

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD\) là phân giác của \(\widehat {ABE}\).

Tam giác \(ABE\) có BD là đường cao đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại B.

d) Tam giác AKF có phân giác AD đồng thời là đường cao \( \Rightarrow \Delta AKF\) cân tại A \( \Rightarrow D\) là trung điểm của KF.

\(\Delta ABE\) cân tại B (cmt) \( \Rightarrow \) Đường cao BD đồng thời là trung tuyến\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AE\).

\( \Rightarrow AKEF\) là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Lại có \(AE\) là phân giác của \(\widehat {KAF}\) nên AKEF là hình thoi (Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc).