Trong các phương trình sau, phương trình có nghiệm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta nhận xét phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 2017}  =  - 1\) vô nghiệm nên loại đáp án A. Ta giải các phương trình ở ba đáp án còn lại theo phương pháp biến đổi tương đương để tìm được đáp án đúng.

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \(\sqrt {2x + 8}  + 5\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {4 + x} \right)}  = 0\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}3 + x \ge 0\\4 + x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \ge  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - 3\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {2x + 8}  + 5\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {4 + x} \right)}  = 0\\\Leftrightarrow \sqrt {4 + x} \left( {\sqrt 2  + 5\sqrt {3 + x} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 0\\\sqrt 2  + 5\sqrt {3 + x}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt 2  + 5\sqrt {x + 3}  = 0\,\,\left( {VN} \right)\end{array}\right.\end{array}\)

Vậy phương trình vô nghiệm. (loại đáp án B)

Xét phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 1}  = 2\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 1}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3\,\, \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 .\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm. (loại đáp án C).

Xét phương trình: \(\sqrt {2{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt { - 3x + 5} \)

Đk: \( - 3x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{3}\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {2{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt { - 3x + 5} \\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 1 =  - 3x + 5\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 4x - 6 = 0\\\Leftrightarrow x\left( {2x + 3} \right) - 2\left( {2x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{{ - 3}}{2}\).

Chọn D.