Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn điều kiện \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức đã cho và áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTNN của biểu thức P.

+) Xác định các giá trị của x và y để dấu “=” xay ra.

Giải chi tiết:

\(P=\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{35}{xy}+2xy=\frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{xy}+\frac{32}{xy}+2xy=\left( \frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{xy} \right)+\left( \frac{32}{xy}+2xy \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

\(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\Rightarrow \frac{3}{xy}\ge \frac{6}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow \frac{2}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{3}{xy}\ge \frac{8}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \frac{8}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\ge \frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{32}{xy}+2xy\ge 2\sqrt{\frac{32}{xy}.2xy}=8\)

Suy ra \(P\ge \frac{1}{2}+8=\frac{17}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{align}  & x=y \\  & \frac{32}{xy}=2xy \\  & x+y=4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy \({{P}_{\min }}=\frac{17}{2}\) khi \(x=y=2\).

Chọn B