1)     Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-2\left( m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Tìm điều kiện để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: \(\Delta '>0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

+) Tìm nghiệm x theo m.

+) Tọa độ giao điểm là các số nguyên thì x nguyên và y nguyên.

+) Tìm m để x nguyên và kết luận.

Giải chi tiết:

1)     Ta có: \(\Delta '={{\left( m+2 \right)}^{2}}-6m-2={{m}^{2}}+4m+4-6m-2={{m}^{2}}-2m+2={{\left( m-1 \right)}^{2}}+1>0\)  

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Khi đó theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m+2 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\, \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=6m+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Gọi hai nghiệm phân biệt của phương trình là \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)

Phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia, không mất tính tổng quát ta giả sử\({{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\)

Thay\({{x}_{1}}=2{{x}_{2}}\) vào (1) ta có \(3{{x}_{2}}=2\left( m+2 \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{2(m+2)}{3}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{4(m+2)}{3}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = \frac{{4\left( {m + 2} \right)}}{3}.\frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{3} = \frac{{8{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{9} = 6m + 2\\
\Leftrightarrow 8{m^2} + 32m + 32 = 54m + 18 \Leftrightarrow 8{m^2} - 22m + 14 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {7m - 4} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{7}{4}\\
m = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(m=\frac{7}{4},\,m=1\)

2)     Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\left( m+2 \right)x=x+{{m}^{2}}+2\Leftrightarrow x\left( m+1 \right)={{m}^{2}}+2\)

Vì \(m\ne -1\) nên \(x=\frac{{{m}^{2}}+2}{m+1}=\frac{{{m}^{2}}+m-m-1+3}{m+1}=m-1+\frac{3}{m+1}\)

Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên để \(x\in \mathbb{Z}\) thì \(m+1\in \)Ư(3) = \(\left\{ \pm 1,\pm 3 \right\}\)

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(m\in \left\{ -4,-2,0,2 \right\}\) thì giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho có tọa độ nguyên.

 Chọn B