Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác AKHN là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

c) Chứng minh tứ giác AMKD là tứ giác nội tiếp.

d) +) Chứng minh CKDN là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh DN // AH

+) Sử dụng định lí đường trung bình của tam giác. 

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\widehat {AKN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {AKN} + \widehat {AHN} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác AKHN là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMB có đường cao AK có \(A{M^2} = MK.MB\)

c) Gọi D là giao điểm của OM và AC. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(OM \bot AC \Rightarrow \widehat {ADM} = {90^0} = \widehat {AKM} \Rightarrow \) Tứ giác AMKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {KAC} = \widehat {OMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KD).

d) Do tứ giác AMKD là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {MAK} = \widehat {MDK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).

Mà \(\widehat {MAK} = \widehat {ABK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KAB}\)) \( \Rightarrow \widehat {MDK} = \widehat {ABK}\).

Ta có: \(\widehat {MDK} + \widehat {KDC} = \widehat {MDC} = {90^0};\,\,\widehat {ABK} + \widehat {HNB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {HNB}\).

Mà \(\widehat {HNB} = \widehat {KNC}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KNC} \Rightarrow \) Tứ giác CKDN là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau) \( \Rightarrow \widehat {CKN} = \widehat {CDN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN).

Mà \(\widehat {CKN} = \widehat {CAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB) \( \Rightarrow \widehat {CDN} = \widehat {CAB}\). Hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị, do đó DN // AH.

Xét tam giác CAH có CN // AH ; D là trung điểm của AH (quan hệ vuông góc đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \) N là trung điểm của CH (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).